【关键词】小学数学;课堂切入点;数学思维

　　能力是保证個体“能”顺利地完成一定活动、直接影响活动效率的主观条件，是有知识和智力等构成的有机整体[1]。那么“数学能力”就是人们“能”顺利地完成数学活动、直接影响其活动效率的主观条件。而其中数学思维能力则是直接影响数学能力的核心要义。c“数学是思维的体操”。《义务教育数学课程标准》的总目标之一就是要求学生能“运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”[2]。因此数学课堂中，要以学生数学思维能力的发展为主旨，有效处理和把握好掌握知识与发展思维之间的关系，顺应学生的思维生长和发展状态，敏锐并具智慧地掐准课堂中知识的形成节点，适时引导、助推和开化学生学会数学地思考，在数学知识的习得和积累的过程中，理解知识的数学实质及其体现的数学思想，提升数学思维能力。

　　一、邻家老枝发新芽——在知识生长点处引入，激起数学思维的火花

　　“知识是‘生长’出来的”。学生的学习过程是知识不断积累和能力不断提高的过程，新知识的学习是在原有基础上进行的“老枝发新芽”，学生对新知识的理解是逐步由模糊到清晰、由零碎到完整并逐步融入原有知识体系之中[3]。因此，在课堂教学过程中，教师要结合新旧知识的生长点来巧妙引入，引导学生进行独立思考。当学生通过自己的积极思维而得到结论时，那种喜悦是由衷的，获得的成就感也是非常强烈的，这种独特的感受会促使学生不断地利用自己已有的知识去对新知识进行探索和领悟，在一点点、一步步的不断思考的过程中，学生的思维能力就会不断攀升。

　　例如在教学“认识公顷”时，学生已经学习了平方厘米、平方分米、平方米三个面积单位，这是学生已有的知识经验，我首先是激活旧知，出示正方形(正方形边长用“?”来表示)让学生依次用一句话来具体阐述已学过的面积单位，课件相机演示。接着，抛出问题：“你能根据学习经验再创造出一些更大的面积单位吗?”学生思维飞扬：“边长是10米的正方形，面积是1平方米”，“边长是100米的正方形，面积是10000平方米”，“边长是1000米的正方形，面积是1000000平方千米”，此时，教师指出：“100平方米就是1公顷，公顷就是今天要学习的新的面积单位。”在此基础上，结合学生日常生活实际，通过不同的素材和形式让学生去感知1公顷的大小，增进新知的感悟和体验。上述教学中，我紧紧抓住知识的生长点，即正方形边长的依次变化增大，相应的面积单位也就变化增大，以此为契机，激活了学生思维的火花。在学生联系已学的三个面积单位创造新的面积单位的过程中巧妙无痕地引入、衍生了公顷，让学生拾级而上，有序建构了面积单位思想模型，既加深了不同面积单位由来的感悟，又很好地衔接了平方米和公顷两个面积单位。这样，紧抓知识的生长点，适切引入，灵性生发，思维生长，理解深刻。

　　二、绝知此事要躬行——在知识关键点处探究，迸发数学思维的张力

　　抓住了知识的关键点，就抓住了课堂教学的脉络、主调。教学中，教师要善于紧抓关键点，将原生态的知识推到学生面前，让学生在自主探究知识实质的过程中，迸发数学思维的张力，显现智慧的魅力，促进对新知的感悟和内化。

　　例如在用假设策略解决实际问题中，理解两种量之间的倍数关系和相差关系是教学的关键点，我在出示例题时，故意隐去了“小杯的容量是大杯的”这一关键信息，让学生发现情境中缺少条件并主动去补充条件。这样，学生的关注点将自然地聚焦到大杯和小杯的容量之间的关系这一假设的依据上。学生补充的条件有倍比关系的，也有相差关系的，而这正是运用假设策略来解决问题的两个重要依据和抓手，学生思维清晰、规范、指向集中，假设的策略也就呼之欲出。此时，首先出示“小杯的容量是大杯的”，学生通过“画一画”得出了“1个大杯假设成3个小杯或3个小杯假设成1个大杯”的策略;其次出示“大杯的容量是小杯的4倍”。学生解答时大多认为把1个大杯假设为4个小杯比较简便。认为把小杯假设为大杯的话，不能正好得到几个大杯，虽然大杯个数不能正好得到整数，但也可算出大杯的容量。由此体会到在具体运用策略时，要优化假设策略，选择合适的假设方法;再次出示“大杯的容量比小杯多20毫升”，学生有了前面假设的经验，就能创造性地运用已有知识经验来展开探究：发现相同之处都是知道了两种杯子的关系，但现在的条件是“一个大杯比一个小杯多20毫升。”一个大杯换几个小杯?——只能换一个，但换了以后会怎样呢?——总量发生变化，在经过“画一画、想一想、议一议”的自主探究之后，学生的思路豁然开朗，找到了具体的假设方法。这样，抓住两个量之间的关系这一关键点灵活地变化，充分调动和激发了学生的探究欲望，利用知识之间的迁移，突破了难点，并让学生在比较中内化知识结构，明确了倍比、差比两种不同类型的假设特征及其数学内涵，学生思维驰骋，在变与不变中探寻联系，感受到数学的规律美。

　　三、千树万树梨花开——在知识聚合点处伸展，凸显数学思维的广度

　　数学知识的编排具有一定的结构体系，分散在不同年级和学期，前后相互关联并且逐渐深入推进。教师应厘清和把握具体数学知识的前后联系与结构关联，了解学生的学习状态，基于学生思维发展水平，敏锐地捕捉相关知识的聚合点，在聚合点处伸展，引导学生在建构思想模型的进程中凸显思维的广度，对数学知识的理解从形式与内容的认知，走向数学知识实质的升华[4]。

　　例如在教学解决问题的策略“一一列举”时，在学生经历感受了“周长是22米的长方形，怎样围面积最大?”各种围法的一一列举过程中，体会到一一列举时 “十分讲究有序思考，要做到不重复、不遗漏”的特点之后，我抓住“有序思考”这一聚合点，让学生回顾交流：“在以前的学习中，我们曾运用列举的策略解决过哪些问题?”

　　学生思维活跃，精彩纷呈。

　　生1：一组一组地写出10可以分成几和几。

　　生2：乘法口诀表的口诀也是一一列举排列的。

　　生3：有序写出3张数字卡片能组成的所有三位数。

　　生4：用12个边长1厘米的正方形拼出不同的长方形。

　　生5：买一个娃娃配一个帽子的搭配方法。

　　生6：写出1.1—1.2之间的所有两位小数。

　　……

　　师：这些运用一一列举的策略来解决问题的过程有什么共同点?

　　师：可见，一一列举是一种常用的解决问题的策略。生活中有许多实际问题，列式计算比较困难，如果联系生活经验，用一一列举的方法就能比较容易地得到解决。

　　上述教学中，以问题为导火索，抓住一一列举策略“有序思考”这一聚合点，让学生在回顾、梳理的举例中，将头脑中已有的、零散的知识经验系统化，思维之泉喷涌而发。课堂上千树万树梨花开，既唤醒和激活了以往积累的列举经验，在交流中思维共鸣，又丰实了“有序思考”的思想模型，凸显了思维的广度，使学生更好地理解一一列举策略，感受策略的延续性，充分体会策略的广泛运用与价值。

　　四、百思不解豁开朗——在知识疑难点处点拨，拓展数学思维的宽度

　　课堂上，当学生在知识疑难点处思维卡壳时，如果没有教师的适时点拨，他们会茫然不知所措，要么停止思考，要么四处出击乱碰乱撞，以至于一无收获。教师应在遵循学生思维规律的基础上，通过点拨思维方向及思考方法，帮助学生打开、拓宽思维路径，探寻更宽阔的视野，真正起到“四两拨千斤”的功效[5]。

　　例如，我在教学“3的倍数的特征”时，先复习旧知判断哪些数是2或5的倍数，只要观察这些数的个位上数字的特征就行了。再出示一些数判断哪些数是3的倍数，让学生和老师比一比谁的速度快，老师的判断速度快，这其中必然有规律!由此引发学生探究的兴趣，于是出示百数表，让学生在表中找出3的倍数，学生发现沿袭判断2或5的倍数的特征的知识，从个位上看不出3的倍数的特征，怎么办呢?判断3的倍数到底有什么诀窍呢?此时学生的思绪纷繁、无从下手。我故作玄虚：“老师不看数，还能听数速判呢!”于是让学生在计数器上拨数，我背对计算器听音速判拨出的一些数是否是3的倍数，设问：老师是怎样判断一个数是不是3的倍数的?珠子总颗数与拨出的数有什么联系?你能大胆猜想一下3的倍数与各位上数字的和有什么关系?你打算怎样来验证?随后引导学生在学习单上通过“先确定各位上数字的和——再写出符合的数——判断是否是3的倍数”正反两方面的举例验证，得出了3的倍数的特征。上述教学中，当学生新旧知识冲突陷入困境之时，通过教师“听音判数”的巧妙设计和点拨导学，引发学生聚焦到“3的倍数与各位上数字的和有什么关系”的问题探究中，点明了学生的智慧之灯，拨动了学生思维之弦，打开了学生思维的闸门，真可谓柳暗花明又一村。

　　五、千举万变其道一 ——在知识核心点处变式，挖掘数学思维的深度

　　教学中，教师应抓住核心知识点，在层层深入的变式中，于无痕处生根，在有形处开花，逐步让学生向思维深处挺进，体验和内化数学知识实质，构建数学思想方法及模型。

　　例如在教学解决问题的策略“转化”中，我聚焦“化繁为简”也就是“变中求不变”的知识核心点对习题进行了递进式的变式，引领学生深度思维，增进学生对转化策略的体验和深化。

　　“练一练”：下列同样大小的长方形地中分别铺设了一些小路(图中小路的宽度都相等)。这些小路的面积相等吗?为什么[6]?

　　在学生分别把图形①和③中的小路通过平移转化成与图形②中完全一样的小路，比较得出这些小路的面积相等后，我提出问题：“解决这个问题用到了什么策略?这些小路转化前后什么变了?什么没变?”“小路面积保证不变的话，图①中这些小路还可以怎样铺设呢?谁上来指一指?”学生指出不同的铺法后，我再出示两幅图(如下图)：

　　④ ⑤

　　例如还可以这样铺……这些小路形状虽然变了，面积却始终保持不变。是呀，我们在转化的变化过程中，保证了面积也就是结果不变。这就是“变中求不变”。

　　此时，我又对习题进行了变式。

　　如果在小路的周围都种满草坪，这些草坪的面积相等吗?为什么?(如下图)

　　学生反馈交流得出面积相等。方法1：只要平移图形⑥和⑧中的小路，这样就转化成与图形⑦完全一样的小路，进而得出草坪的面积相等。方法2：平移图形⑥和⑧中的草坪，转化成与图形⑦完全一样的草坪。

　　上述教学中，教材原题只是比较图形①和②中小路的面积大小，我丰富题目的信息量，增加了图形③变式题，在于加深学生对转化策略的感受和体会。首先是“练”——让学生在比较面积的过程中主动运用和感受转化策略;其次是“展”——让学生上台指着说一说小路面积不变的前提下还可铺设的情况，直观展示学生的思维，丰富学生的策略运用;接着是“延”——列举还可改变的不同形状，拓展延伸“变”的无穷;最后是“承”——换个角度来比较草坪面积的大小，既提升学生主动运用策略的意识，又与后续的练习无痕承接，巧妙地铺垫和孕伏。这样，通过对“练一练”四个层次的递进式的变式练习，让学生深刻体会到“化繁为简”的转化实质就是“变中求不变”，从而将学生的思维引向深处，在此过程中学生对于转化中“变中求不变”的领悟和体验是深刻的。

　　六、余音绕梁犹未绝——在知识梳理点处反思，搭建数学思维的桥梁

　　反思就是學生对自己的思维过程、思维结果进行再认识的检验过程，是促进知识同化和迁移的可靠途径，是一种更深层次的学习过程[7]。教师教学完新知识之后，要留给学生消化和思考的时间，让学生在知识梳理点处 “回头看”，回顾与反思学习的过程、方法、收获和困惑，在反思中由点连线、由线及面、由面搭桥，同时体悟到知识负载的方法、蕴涵的思想，为后续学习积累丰富的思维活动经验和能力。

　　例如学生在学习了假设策略的例1、例2之后，教师可引导学生及时梳理比较解决例1、例2的过程，反思它们都用了什么策略。为什么要用这一策略?运用假设策略解决问题时要注意些什么?什么情况下适合用假设的策略?又如学生在学习了转化策略后，可让学生反思：我们通过哪些方法进行转化?运用转化的策略有哪些优点?在以后的学习和生活中你有何启示?这样就把解决问题的策略提升到相应的数学思想的高度来认识，以展示数学本身的魅力。学生不仅知其然，更知其所以然，在此过程中顺利搭建了思维的桥梁，就会自觉运用数学的眼光和思维方式去发现问题、分析问题、解决问题，并把课内知识自觉主动地迁移和延伸到课外和生活实际之中，从而增强学习的持续力和发展力。

　　思维就像一棵花，它是逐渐地积累生命的积液的。只要我们用这种积液浇灌它的根，让它受到阳光的照射，它的花就会绽开[8]。总之，教学中教师要遵循学生的认知规律和思维特点，找准切入点，灵活、智慧地助推学生生长思维、向思维深处漫溯，使学生学有所思、学有所获、学有所长，从而开启学生的智慧，显现数学的魅力。

　　【参考文献】

　　[1]施良方，崔允漷.教学理论：课堂教学的原理、策略与研究[M]. 上海：华东师范大学出版社，1999：99.

　　[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

　　[3]匡金龙.让数学知识在课堂上自然生成[J]. 小学数学教育，2015(1-2)：51.

　　[4][5]蒋敏杰.课堂追问：助推学生思维发展[J]. 课程教学研究，2015(7)：56-58.

　　[6]周建东.于无痕处渐入 在有形处深化[J]. 小学数学教育，2016(4)：70-71.

　　[7]方永进.从课堂入手培养学生反思能力[J]. 小学教学参考，2010(10)：52.

　　[8]苏霍姆林斯基.给教师的建议(下)[M]. 教育科学出版社，1980：196.