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常微分方程在数学建模教学中的运用

更新时间:2015-05-21浏览:评论: 条

第一次世界大战期间,奥地利与意大利的敌对状态造成了亚德里亚海捕鱼业的破坏与停滞,战后发现,亚得里亚海中以小鱼为食物的大鱼密度高于正常水平,为什么停止捕捞有利于大鱼密度的上升,这一问题引起了意大利数学家沃儿泰拉的兴趣,他的研究导致如下模型。

x(t)表示t时刻小鱼密度,即单位体积的小鱼数,y(t)代表相应的大鱼密度。先考虑小鱼密度的变化规律,如果不存在大鱼,类似于马尔萨斯人口模型,假设小鱼密度的净增长率为一个常数a>0,当有大鱼存在时,由于大鱼捕食小鱼,使得小鱼的净增长率下降,这一下降的速率正比于y(t),其比例系数设为常数b,由此小鱼密度满足方程:

=a-by (1)

类似的考虑大鱼密度方程

=-c+dx (2)

式中的cd系数前的符号与小鱼方程系数ab的符号相反,这是因为当不存在小鱼时,大鱼由于没有食物而死亡,因而数量下降,下面对由方程与组成的常微分方程进行分析。

容易看出,如上方程组有三组特定的解,即

(1)x(t)=y(t)=0

(2)x(t)=0y(t)=y(0)e-ct(y(0)>0)

(3)y(t)=0x(t)=y(0)eat(x(0)>0)

Oxy平面上,对应不同的初值x(0)y(0),这三组解的轨道构成区域R2+={(xy)∈R2x≥0y≥0}的边界,将上述区域的内部记为intR2+={(xy)∈R2x>0y>0} ,由常微分方程组解的存在唯一定理,不同的积分轨道不能相交,所以初值点在intR2+内的积分轨道保持在同一区域内,不能越过它的边界,在这一区域内,存在唯一一组不随时间变化的平衡解,它可由令==0解得,即

x=y=

Oxy平面上,过点(xy)分别作平行于x轴与y轴的直线,这两条直线把区域划分为四个部分,如果所讨论的方程组存在封闭轨线所表示的周期解,那么由轨线上任何一点相对于点(xy)的位置,不难知道该点,的符号,由此知道这样的周期轨道是逆时针方向旋转的,以下说明这样的周期解确实存在。

将方程(1)乘以c-dx与方程(2)乘以a-by相加,整理后得

(clnx-dx+alny-by)=0 (3)

注意到xy的值,令

H(x)=xlnx-x

G(y)=ylny-y

V(xy)=dH(x)+bG(y)

(3)式化为

V(x(t)y(t))=0

或者等价有V(x(t)y(t))=const

即定义在intR2+上的函数V沿方程组(1)(2)的任何一条轨道取常数值,称这一常数为运动常数。

因为函数H(x)满足

=-1=-<0

所以H(x)在点x=x达到极大,类似可知函数G(x)在点y=y达到极大,由此函数V(xy)唯一的极大值在平衡点(xy)达到,还可说明沿从平衡点(xy)出发的任何一条射线,V(xy)单调下降,因而集合{(xy)∈intR2+V(xy)=const}是围绕平衡点的闭曲线,由于intR2+内的任何一组解必须保持在V(x(t)y(t))等于常数的集合上,因此随着时间的推移,解的代表点必然回到它的初始位置,因而轨道一定是周期的。

如上讨论说明,无论大鱼密度还是小鱼密度都是周期振荡的,而且振幅与频率都依赖于初始条件,然而可以说明:密度的时间平均值则是与初始条件无关的常数,且等于相应的平衡值,即

x(t)dt=xy(t)dt=y

此处T是解的周期,这一结论可按下述方式说明:由

(lnx)==a-by

积分,有

lnx(t)dt=(a-by(t))dt

lnx(T)-lnx(0)=aT-by(t)dt

因为x(T)=x(0),上式给出

y(t)dt==y

类似的可以讨论x(t)的平均值。

利用上述结果,沃尔泰拉说明了战争期间大鱼密度上升的原因,捕捞的效果是降低小鱼生殖率,提高大鱼的死亡率,因此当考虑捕捞时,如上模型中的系数应当调整,方程(1)中的a应由a-k代替,k是某一正数,而(2)中的c则应由c+m代替,m是某一正数,而系数bd反应大鱼、小鱼间的相互作用,故保持不变,与这组系数相对应,大鱼平均密度变为(a-k)/d,即低于停止捕捞时的值,小鱼的平均密度变为(c+m)/d,高于停止捕捞时的值,这样就说明了停止捕捞将使大鱼密度上升,小鱼密度下降。

如上讨论可适用于较(1)(2)更为实际的描述生态活动的方程组,类似的讨论启示我们,要谨慎的使用那些无选择性的农药,因为这些农药既杀死害虫,也杀死害虫的天敌,产生类似捕捞鱼群的效果,使得虫口密度相对于天敌密度上升,就此而言这样施用农药的效果是值得怀疑的。对如上模型适当加以修正,还可以讨论生物种群间更复杂的共生、竞技或排斥关系。

【参考文献】

[1]葛渭高,李翠哲,王宏洲. 常微分方程与边值问题[M]. 北京:科学出版社,2008.

[2]李大潜. 将数学建模思想融入数学类主干课程[J]. 中国大学教学,2006(1).

[3]张良勇,董晓芳. 常微分方程的起源与发展[J]. 高等函授学报(自然科学版)2006(3)

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