张秀花

　　【关键词】领悟;引领;培养

　　几何直观是《数学课程标准(2011年版)》新提出的十个核心观念之一，数学课堂教学理当重视培养学生的几何直观能力，笛卡儿说，没有什么东西比图形更容易映入我们的脑海中。因此，作为一名数学教师，首先需要正确领悟几何直观的含义，其次要引领学生善于运用不同的解决问题的策略，使抽象的内容直观化，使晦涩的文字浅显化，使隐晦的关系明朗化，让学生在真实的问题研究中增长才智，培育几何直观的能力。

　　一、强化直观感知

　　在平时，我们的数学课堂需要改进直观教学，强化学生的直观感知。教师在教学时可以引导学生通过观察、操作、实验等活动强化学生的直观感知。

　　例如，一位老师执教“有余数的除法”呈现如下教学片段。师：儿童节到了，小朋友们打算在班级联欢会上摆一些果盘。现在有6个草莓，把草莓每2个摆一盘，我们来帮他们摆一摆，好吗?(课件出示)

　　师：请小朋友们拿出水果学具，用6个学具表示6个草莓来摆一摆。

　　学生动手操作，教师巡视指导。

　　师：一共可以摆几盘?有剩余吗?

　　生：可以摆3盘，正好摆完，没有剩余。(课件适时出示)

　　师：这是平均分的问题，我们可以用除法计算，怎么列式呢?

　　生：6÷2=3(盘)

　　师：谁来说说6÷2=3这个算式表示什么意思?

　　生：这个算式表示“6个草莓，每2个一盘，摆3盘，正好摆完”。

　　师：如果不是6个草莓，是7个呢?(课件出示7个草莓)

　　师：请小朋友们再动手摆一摆，看看分得的结果怎样?(学生动手操作)

　　师：7个草莓，每2个一盘，可以摆几盘?有剩余吗?

　　生：可以摆3盘，还剩1个。(课件出示)

　　师：剩下的1个还能再平均分吗?这里的1个表示什么呢?

　　生：不能，只剩1个不够分。

　　师：回忆一下刚才分草莓的过程，你们想一想，把7个草莓每2个摆一盘，结果怎样?想好了和同桌说一说。(生：略)

　　教者指出：像这样平均分后有剩余的情况，也可以用除法算式表示。7个草莓，每2个摆一盘，可以摆3盘，还剩1个。写成除法算式为：7÷2=3(盘)……1(个)。这样的算式是有余数的除法算式。这里的1叫作余数(板书)，表示平均分后余下的部分。表示余数时，要在商的后面写上省略号，再写上余数。咱们今天一起探究“有余数的除法”(板书课题)。

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　　案例中，教师基于学生的认知经验，充分调动学生的探究热情，引导学生进行有效的数学操作，亲历分草莓“有剩余”的真实情形。教者让学生进行分草莓活动，从正好分完到有剩余是对平均分意义的延伸，也是学生认知的一次重大突破。教者引导学生通过操作、整理和比较，感知平均分的不同结果，积累对有余数除法意义的直观经验。课上，教者适时引导学生思考“剩下的1个还能再平均分吗?”“这里的1个表示什么呢?”看似简单的问题触及的是学生的困惑，同时也问出了研究的起点。学生借助直观感知，同时联想刚刚摆草莓的动手活动过程，教者针对算式7÷2=3(盘)……1(个)继续追问学生这里的7表示什么?2表示什么?3呢?1呢?引导学生对“有余数的除法”形成正确而清晰的认知。

　　二、丰富直观表象

　　克莱因说，数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上，数学直观就是对概念、证明的直接把握。培育学生的几何直观能力，首先要丰富学生的数学表象感知，我们的数学课堂，需要重视引导学生的多感官参与，要形式多样的引导学生观察、比较图形的一些几何特征，在学生头脑中建立正确而鲜明的表象。

　　例如，生活中有很多平移、旋转和轴对称现象，学生初步学习这些内容之后，教师可以及时引导学生举出生活中的例子，哪些生活现象是平移，哪些生活现象是旋转，学生在寻找周围有关平移、旋转等现象的过程中就能进一步丰富直观表象。教学时教师要充分用好一些实践操作活动，如折纸、剪纸，拉一拉、转一转、拼一拼等，教师还可以根据学生的特点，自行设计一些活动。这既丰富了学生的感知，又激活了思维，进而形成正确的表象。

　　认识线段时，一位老师问学生：“跳绳的时候，甩出的繩子是什么样子?拔河的时候，绳子是什么样子?这两种绳子有什么不同的地方呢?”教师让学生通过操作、观察、实践等活动丰富体验;再将生活经验进行加工、改造与提升。学生发现跳绳甩出的绳子是弯弯的，拔河的绳子是直直的。另外，学生受现实生活中的“线”的干扰，他们所认识的“线”是有粗有细的。我们可以让学生先观察手电筒光的形状，再观察光线摇晃的投影图，而后引导学生跳出现实中“线”的框框，形成空间想象的“线”。这种“数学化”的学习过程，可帮助孩子消除日常概念的负迁移现象，有利于构建数学模型，建立正确的表象。

　　很多课堂经验丰富的教师会重视平时的适时渗透，让学生做有心人，注意观察身边的实物，量一量教室的长是多少，宽是多少，教室的周长是指什么;三角板上有哪些角，两个三角板拼成的图形有哪些角等。学生认识各种角之后，教者创设丰富的情境：三角形有3个角，在三角形里面画一条线段后，数一数共有几个角?在三角形里面画两条线段呢?如果在三角形里面画一条高，再数一数共有几个角，其中有几个是直角呢?课上，学生在这个变化多样的直观情境中操作、观察、比较，展开数学思考，慢慢长出一双“眼睛”，几何直观能力便逐步提升。

　　三、巧用数形结合

　　数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休。”我们不难看出，要促使小学生学好数学，发展数学思维，就得重视数形结合思想的渗透，并在具体问题解剖中发展学生的几何直观能力。

　　例如，一位教师在引导学生理解“余数比除数小”，设计了如下的教学片段。

　　师：这里有4根小棒，能摆几个正方形?

　　生：摆1个正方形。

　　师用4根小棒摆出一个正方形。

　　师：用8根小棒能摆几个正方形?

　　生：2个。

　　师：你是怎么知道的?

　　生：8里面有2个4，8÷4=2。课件出示：8÷4=2(个)

　　师：如果像这样用9根、10根、11根、12根小棒摆正方形，结果怎样呢?请同学们先用小棒摆一摆，再根据每次摆出的结果说一说除法算式。(结合学生操作，课件呈现每次摆的结果及相应的除法算式)

　　师：看着这些算式，选一个算式说说它表示的意思。

　　生1：9÷4=2(个)……1(根)表示用9根小棒摆正方形，每个正方形要4根小棒，可以摆2个正方形还多1根小棒。

　　生2：10÷4=2(个)……2(根)表示用10根小棒摆正方形，每个正方形要4根小棒，可以摆2个正方形还多2根小棒。

　　生3：11÷4=2(个)……3(根)表示用11根小棒摆正方形，每个正方形要4根小棒，可以摆2个正方形还多3根小棒。

　　生4：12÷4=3(个)表示用12根小棒摆正方形，每个正方形要4根小棒，正好可以摆3个正方形。

　　师：在刚才的操作中出现了哪些余数?

　　生：出现了余数1、2、3。

　　师：余数会是4吗，为什么?

　　生：如果剩余4根就又可以再摆一个正方形了。

　　师：会是5、6、7......吗?为什么?

　　生：不会，只要有1个4，就又可以摆1个正方形了。

　　师：假如给你更多的小棒，来摆正方形，余数又会是多少呢?

　　生1：假如用13根摆正方形，可以摆3个还剩1根;用14根可以摆3还剩2根;用15根可以摆3个还剩3根;用16根正好可以摆4个。

　　生2：我发现要么没有余数，要有余数就会是1、2、3。

　　师：结合图和除法算式想一想，余数为什么只可能是1、2、3?余数和除数会有什么样的关系?大家先想一想，再和小组里的同学说一说。

　　生：我们发现余数要比除数小，因为如果余数等于除数或者大于除数，那就可以继续平均分。

　　师：通过刚才的操作观察，我们发现在除法算式中，余数要比除数小。(板书：余数要比除数小)

　　案例中，数形结合使学习的质态发生了改变，不仅提供了直观的刺激，更激活了学生创新求异的思维。用数形结合思想刺激学生数学学习的深入，是一种智慧的体现，是打造有效学习的基本策略。善用直观图形，充分发挥其直观对抽象的支柱作用，通过直观图例促进学生更科学地把握数与形之间的内在联系，帮助学生正确理解“余数比除数小”，也让抽象的数学知识明晰化。这样的学习过程，不仅能锻炼学生的思维品质，使课堂教学增值，更能丰富学生解决问题的策略，提升数学思维的活力，更有利于学生几何直观能力的不断积累。

　　四、拓展空间联想

　　学生几何直观能力的提升不是一蹴而就的，而是一个日积月累的渐进过程，学生在平时的生活中借助认识经验，结合数学课堂的学习认识，慢慢累积更多的空间知觉和空间表象。教师需要引导学生进一步拓展空间联想，对几何中直线、平面、空间的基本图形的结构、性质、关系进行识记，并能重现基本图形的形状和结构;逐步学会分析图形基本元素之间的位置关系和度量关系，并能正确画图，还能离开实物或图形进行空间描述。

　　如学生初步认识长方形、正方形、梯形之后，教者创设空间联想的问题情境，在教具信封里面装着梯形，先露出一部分是一个长方形，让学生猜一猜整个图形是不是长方形;接着再拉出一部分，还是一个长方形，让学生继续猜一猜整个图形是什么图形;最后再拉出一部分，学生发现整个图形既不是长方形，也不是正方形，而是一个梯形。学生在猜一猜的過程中，不断纠正自己猜想时的空间联想，积累空间经验，丰富了学生的空间表象。

　　再如“画轴对称图形”，教者在方格纸上画出一个图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。它不同于剪纸，只要对折剪，剪出来的图形必定成轴对称图形。它要求学生根据图形已知的一半来确定另一半，对小学生来说，这是初学时的一个难点。教者可以借助图形，先让学生观察方格纸上的轴对称图形，分析每一组对应点与对称轴的关系，后找出规律，再独立尝试把图画完整。

　　总之，几何直观能力的培育一方面要依托空间观念的培养，使学生具备画图、说图和空间想象的能力;另一方面要重视“用图形说话”，使学生善于用不同的图形去解读问题，把握问题中错综复杂的关系，从而使学生的数学学习与智能发展融合起来。同时，我们还得认识到，几何直观能力的培养并不是一朝一夕的，还得关注到几何直观是一种思维方式，是若干种数学思维的一种，我们得依据学生的认知规律适时有机渗透，让学生不同的思维方式有机共存、相互激荡和补充，正如希尔伯特所说：“在数学中，像在任何科学研究中那样，有两种倾向。一种是抽象的倾向……另一种是直观的倾向，即更直接地掌握所研究的对象，侧重它们之间关系的意义，也可以说领会它们生动的形象。”要想真正达成上述目标，数学教师的责任与使命任重而道远!